ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | NCTB BOOK

সুত্র ৫।  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

                             =a3+b3+3ab(a+b)

প্রমাণ : (a+b)3=(a+b)(a+b)2

                             =(a+b)(a2+2ab+b2)

                             =a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)

                             =a3+2a2b+ab2+(a2b+2ab2+b3)

                             =a3+3a2b+3ab2+b3

                             =a3+3ab(a+b)+b3

                             =a3+b3+3ab(a+b)

অনুসিদ্ধান্ত ৭। a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

সুত্র ৬। (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

                            =a3-b3-3ab(a-b)

প্রমাণ : (a-b)3=(a-b)(a-b)2

             =(a-b)(a2-2ab+b2)

             =a(a2-2ab+b2)-b(a2-2ab+b2)

             =a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3

             =a3-3a2b+3ab2-b3

             =a3-b3-3ab(a-b)

অনুসিদ্ধান্ত ৮। a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)

 

উদাহরণ ১৬। 3x+2y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : (3x+2y)3=(3x)3+3×(3x)2×(2y)+3(3x)×(2y)2+(2y)3

                                     =27x3+3×9x2×2y+3+3x×4y2+8y3

                                     =27x3+54x2y+36xy2+8y3

 

উদাহরণ ১৭।  2a+5b এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : (a+5b)3=(2a)3+3×(2a)2×(5b)+3(2a)×(5b)2+(5b)³

                                   =8a3+3×4a2×5b+3×2a×25b2+125b3

                                   =8a3+60a2b+150ab2+125b3

 

উদাহরণ ১৮। 1m-2n এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : (m2)3=(m)³3×(m)²×(2n)+3×m×(2n)²-(2n)³

                             =m3-3m2×2n+3m×4n2-8n3

                             =m3-6m2n+12mn2-8n3

 

উদাহরণ ১৯। 4x5y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : (4x-5y)3=(4x)3-3×(4x)2×(5y)+3(4x)×(5y)2-(5y)3

                                     =64x3-3×16x2×5y+3×4x×25y2-125y3

                                     =64x3-240x2y+300xy2-125y3

 

উদাহরণ ২০। x+y-z এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : (x+y-z)3={(x+y)-z}3

            =(x+y)3-3(x+y)2z+3(x+y)z2-z3

            =(x3+3x2y+3xy2+y3)-3(x2+2xy+y2)×z+3(x+y)×z2-z2

            = x²+3x²y+3xy²+y³-3x²z-6xyz-3y²z+3xz²+3yz²-z³

            =x³+y³-z³+3x²y+3xy² -3x²z-3y²z+3xz²+3yz²-6xyz

কাজ : সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর :

১। ab+bc    ২। 2x-5y    ৩। 2x-3y-z

 

উদাহরণ ২১। সরল কর : (4m+2n)³+3(4m+2n)²(m2n)+3(4m+2n)(m-2n)²+(m-2n)³

সমাধান : ধরি, 4m+2n=a এবং m-2n=b

 প্রদত্ত রাশি =a3+3a2b+3ab2+b3

                        =(a+b)3

                        =(4m+2n)+(m-2n)3

                        =(4m+2n+m-2n)3

                        =(5m)3=125m3

 

উদাহরণ ২২।  সরল কর : (4a-8b)3-(3a-9b)3 3(a+b)(4a-8b)(3a-9b)

সমাধান : ধরি, 4a-8b=x এবং 3a-9b=y

 x-y=(4a-8b)(3a-9b)=4a-8b-3a+9b=a+b

এখন প্রদত্ত রাশি =x-y33( x- y)×x×y

                          =x3-y33xy(x - y)

                          =(x-y)3

                          =(a+b)3

 

উদাহরণ ২৩। a+b=3 এবং ab=2 হলে, a3+b3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : a3+b3=(a+b)33ab(a+b)

                               =(3)33×2×3

                               =27-18

                               =9

বিকল্প সমাধান : দেওয়া আছে, a+b+c এবং ab=2

                       এখন, a+b+c

                        বা, (a+b)3=(3)3

                        বা, a3+b3+3ab(a+b)=27

                        বা,a3+b3+3×2×3=27

                        বা, a3+b3+18=27

                        বা, a3+b3=27-18

                        a3+b3=9

 

উদাহরণ ২৪। x-y=10 এবং xy=30 হলে, x3-y3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : x3-y3=(x-y)3+3xy(x-y)

                               =(10)3+3×30×10

                               =1000+900

                               =1900

 

উদাহরণ ২৫। x+y=4 হলে x3+y3+12xy এর মান কত?

সমাধান : x3+y3+12xy=x3+y3+3×4×xy

                                              =x3+y3+3(x+y)×xy

                                              =x3+y3+3xy(x+y)

                                              =(x+y)3

                                              =(4)3

                                              = 64.

 

উদাহরণ ২৬। a+1a=7 হলে, a3+1a3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : a3+1a3=a3+1a3

                =a+1a3-3×a×1aa+1a

                =73-3×7          

                =343-21

                =322

 

উদাহরণ ২৭। m=2 হলে, 27m3+54m2+36m+3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত রাশি =27m3+54m2+36m+3

                                 =(3m)3+3×(3m)2×2+3×(3m)×(2)2+(2)3-5

                                =(3m+2)3-5

                                =(3×2+2)3-5            [m এর মান বসিয়ে]

                                =(6+2)3-5=83-5

কাজ : ১। সরল কর : (7x-6)3-(5x-6)3-6x(7x-6)(5x-6)

২। a+b=10 এবং ab=21 হলে, a3+b3 এর মান নির্ণয় কর।

৩। a+1a=3 হলে, দেখাও যে, a3+1a3=18

Content added || updated By

আরও দেখুন...

Promotion